Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus im Komplexen
Definition:
Die Exponentialfunktion
 |
ist für komplexe Zahlen
folgendermaßen definiert:
Folgerung
Es gilt die Funktionalgleichung
|
für alle komplexen z, w.
Ist
reell - also y = 0 - so liefert die Definition den üblichen Wert
der reellen Exponentialfunktion. Die Definition beschreibt also in der Tat eine
Erweiterung der Exponentialfunktion exp ins Komplexe.
Ist
dagegen imaginär, d.h.
mit
so liefert die Definition:
Diese Gleichung lässt sich auf einfache Weise geometrisch deuten:
Der Punkt
in der komplexen Zahlenebene hat die Komponenten
und
liegt also auf der Einheitskreislinie (siehe Bild).
Dabei bildet die Verbindungsstrecke
den Winkel
mit der positiven x-Achse.
Läuft
von
bis
so umrundet
einmal den Einheitskreis im umgekehrten Uhrzeigersinn.
Für
folgt speziell
oder
auf der Einheitskreislinie
Bemerkung
Diese Gleichung wird die schönste Gleichung der Welt genannt,
denn sie verbindet in harmonischer Weise die wichtigsten Zahlen der Analysis:
|
und
Ersetzt man in der Gleichung
durch
so erhält man
und
ist.
Wir addieren nun die Gleichungen bzw. subtrahieren sie
und erhalten
Auflösen nach
und
liefert:
Folgerung
Für alle reellen Zahlen
  |
gilt
Diese Darstellung von Cosinus und Sinus ist für viele Umformungen bequem, da sich mit der Exponentialfunktion sehr bequem rechnen lässt. Man zieht diese Gleichungen überdies zur Definition der trigonometrischen Funktionen im Komplexen heran:
Definition:
Die Sinus- und Cosinus - Funktion sind für beliebige komplexe
  |
so erklärt:
Wir bemerken dabei, dass
ist, wie man nach Multiplikation der rechten und
der linken Seite mit
sofort sieht.