Geometrische Interpretation der komplexen Zahlen

Fasst man den Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl als kartesische Koordinaten eines Punktes P der (x,y)-Ebene auf, so lässt sich jeder komplexen Zahl genau ein Bildpunkt zuordnen und umgekehrt. Die Menge der komplexen Zahlen wird somit geometrisch als 2-dimensionale Ebene (komplexe Ebene oder Gaußsche Zahlenebene) interpretiert.

Durch eine solche geometrische Perspektive können weitere Eigenschaften von komplexen Zahlen und verschiedene Rechenoperationen veranschaulicht werden:

Der Betrag von ist der Abstand zum Ursprung. Die Punkte der x-Achse (reellen Achse) entsprechen den reellen, die Punkte der y-Achse (imaginären Achse) den rein imaginären unter den komplexen Zahlen. Die zu konjugiert komplexe Zahl ergibt sich durch Spiegelung von an der reellen Achse.

Ist der Winkel, der von der reellen Achse und dem "Ortsvektor" von eingeschlossen wird, so gilt und ist der Betrag, der (Phasen-)Winkel oder das Argument der komplexen Zahl Jede komplexe Zahl kann also durch ihren Betrag und ihren Winkel (bis auf Vielfache von ) eindeutig bestimmt werden. Damit kann man auch andere Darstellungen einer komplexen Zahl (Polardarstellung bzw. trigonometrische Darstellung und Exponentialdarstellung) herleiten.

Geometrisch ist also nichts anderes als d.h. entspricht Die komplexe Addition entspricht genau der Addition von Vektoren im Algebraisch besteht der Unterschied zwischen und darin, dass man auf neben der Addition noch eine Multiplikation hat, wohingegen es in keine interessante Multiplikation zweier Vektoren gibt, die wieder einen Vektor liefert (außer derjenigen, die gerade zu macht).

In den Anwendungen werden komplexe Zahlen meist durch sogenannte Zeiger dargestellt. Dabei handelt es sich um die bildliche Darstellung einer komplexen Zahl in Form eines Pfeils, der im Koordinatenursprung startet und am Bildpunkt P(z) endet. Er wird oft mit dem Symbol gekennzeichnet.