Die harmonische Reihe

Die harmonische Reihe hat folgende Form:

Ihre Divergenz kann mit Hilfe des Majoranten-Minoranten-Kriteriums gezeigt werden:
Wählen Sie die Reihe

Ihre Glieder tauchen ebenfalls in der harmonischen Reihe auf.

Nun kann man die Glieder der harmonischen Reihe wie folgt geschickt zusammenfassen:

Die Klammern beginnen jeweils hinter dem Reihenglied, das auch in der oben gewählten Reihe vorkommt, und enden hinter dem nächstfolgenden.

Ersetzt man nun in jeder Klammer sämtliche Glieder durch das jeweils kleinste, so ergibt sich folgende Vergleichsreihe:

In jeder Klammer beträgt der Wert 0,5. Dieser ist höchstens so groß wie der Wert in der ensprechenden Klammer in der harmonischen Reihe.

Diese Vergleichsreihe divergiert bestimmt gegen unendlich, und da die Glieder der harmonischen Reihe mindestens von derselben Größe sind, wie die ensprechenden in dieser Reihe, ist auch die harmonische Reihe divergent.